Terug naar de vorige index
Da Vinci's Codex
door Drs. W.Tannes
Vond Leonardo da Vinci de fractale wiskunde uit? Sterke aanwijzingen hiervoor
treffen we aan in de Codex Leicester.
Leonardo da Vinci werd in 1452 geboren in het plaatsje Vinci niet ver van Florence.
In oude teksten wordt hij beschreven als 'Leonardo di
ser Piero da Vinci', Leonard de zoon van Piero uit Vinci. Hij leerde schilderen in
Florence maar hij werkte ook als militair architect en ingenieur voor Cesare Borgia.
Zijn carrière zette hij voort in Milaan in dienst van hertog Ludovico Sforza, daarna in
Rome en later in Frankrijk, waar hij werkte voor koning Frans I. In 1519 stierf hij in
Amboise.
Leonardo werd bekend als schilder, maar hij was veel meer. Beroemd werd hij vooral
door kunstwerken zoals de 'Mona Lisa' en de muurschildering 'Het laatste
avondmaal'. Als 'uomo universale', algemeen ontwikkeld mens, als universele geest,
was hij het grootste genie van de renaissance.
Wij bespreken hem hier vanwege zijn wetenschappelijke ideeën. Modern is dat hij
zijn aantekeningen baseerde op waarnemingen en daarmee een voorloper werd van
het empirisme. Hij verzamelde kennis op bijna ieder wetenschappelijk gebied en
deed daar ontdekkingen die nog altijd niet allemaal ontraadseld zijn. Zo maakte hij op
wiskundig gebied notities over de constructie van regelmatige veelhoeken en de
kwadratuur van de cirkel.
Belangrijk is ook zijn ontleding van
het menselijk lichaam, deels ten dienste van de kunst maar gedeeltelijk ook uit
wetenschappelijke belangstelling. In de natuurkunde deed hij onderzoekingen naar
mechanica, optiek en hydraulica. Het is vrij zeker dat hij de wet van Pascal heeft
ontdekt voordat de naamgever die formuleerde. Deze wet houdt in dat de druk die op
een vloeistof in een gesloten ruimte wordt uitgeoefend, door die vloeistof
onverminderd naar alle delen van die vloeistof wordt doorgegeven.
Omdat hij een camera obscura gebruikte, nemen sommige geleerden wel aan dat hij
daarmee vorm heeft gegeven aan de lijkwade van Turijn. Het portret op de lijkwade
zou zijn eigen portret zijn, maar dat is op grond van de C-14 datering minder
waarschijnlijk.
Daarnaast deed hij ook allerlei uitvindingen zoals een tank, een onderzeeër en een
helikopter. Verder ontwierp hij moderne bruggen, een apparaat met tandwielen dat
vermoedelijk een rekenmachine is op de wijze van Babbage
en een vliegtuig.
Getallen
Een belangrijk deel van zijn ontdekkingen en uitvindingen is neergelegd in zijn
aantekeningenboeken die hij noteerde in spiegelschrift, een soort geheimschrift.
Voorbeelden daarvan zijn de Codex Atlanticus en de Codices Madrid I en II. Bill
Gates telde bijna 31 miljoen dollar neer voor de aankoop van de Codex Leicester.
Ook in de schilderijen van Leonardo was een code verstopt, zoals de boodschap die
door Dan Brown in 'De Da Vinci code' is ontrafeld. Daaruit zou blijken dat naast
Jezus op het 'Het laatste avondmaal' niet de apostel Johannes zit, maar Maria
Magdalena die met Jezus getrouwd was.
In de uitbeelding van het menselijk lichaam die bekend staat als de Vitruvische mens
verborg Leonardo de ontdekking van de verhouding 1: 1,618. Bij voorbeeld: de
verhouding van de afstand van de pols tot de vingertop tot de afstand van de
elleboog tot de pols tot is 1: 1,618. Op allerlei plekken in het menselijk lichaam op
deze afbeelding komt die verhouding terug.
Op deze zogeheten 'Goddelijke verhouding' of Gulden snede zijn veel verschijnselen in de
natuur gebaseerd. Dit getal is te vinden in de kunst, in de relatie tussen verschillende
hartslagen, in de beschrijving van de Ark van Noach en de vorm van een zeeschelp.
We zien het zelfs in de ideale maten van het menselijk gezicht.
Bij het gebruik van een getal tussen 1 en 2 liep hij vooruit op latere ontdekkingen,
maar hij was niet de eerste. De Pythagorese broederschap wist al dat sommige
getallen tussen 1 en 2 zoals wortel 2 een bijzondere waarde hadden. Zij kwamen
echter niet toe aan fractale meetkunde. In de dertiende eeuw deed Fibonacci een
poging om 1,618 konijnen te fokken, maar zonder succes.
Fractals
Het gebruiken van een getal tussen 1 en 2 is ook de basis van de moderne fractale
meetkunde. In 1967 schreef Benoît B. Mandelbrot het geruchtmakende artikel 'How
Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension'.
Hij
stelde vast dat hoe nauwkeuriger je naar de kust kijkt, hoe langer en gedetailleerder
de kustlijn wordt. Mandelbrot bewees dat kustlijnen en andere geografische grenzen
een dimensie hebben die ook tussen 1 en 2 in ligt. In zijn boek 'The fractal geometry
of nature' (1982) werkte hij dit verder uit.
Uit zijn opvattingen over dimensies ontwikkelde Mandelbrot een bijdrage aan de
theorie van fractals, objecten met een gebroken dimensie. Een fractal is een
wiskundige figuur waarvan de onderdelen gelijkvormig zijn met het geheel. Op allerlei
plekken in zo'n figuur komt men een soort Droste-effect tegen. Fractale wiskunde
droeg weer bij tot de vorming van de chaostheorie.
Mandelbrot 'ontdekte' de fractal, maar in wezen had Da Vinci die ontdekking al veel
eerder gedaan. Bestudering van de geheime aantekeningen in de Codex Leicester
leert dat hij al vroeg bezig was fractals te creëren. Gates heeft deze aantekeningen
angstvallig geheim gehouden, waarschijnlijk omdat er in de code nog nieuwe,
toepasbare principes van de computer verstopt zouden zijn, maar daarmee houden
wij ons nu niet bezig.
Een voorbeeld van de zogenaamde Mandelbrot fractal zien we in de bijgaande afbeelding.
Daaruit blijkt dat Da Vinci al in de late
vijftiende eeuw dergelijke constructies maakte. Kennelijk was het genie van de
renaissance ook op dit gebied zijn tijd voor.
Ook de fractal met het 'stof' van Cantor, "Cantor dust" genoemd, was bij Da Vinci
bekend. Daarbij wordt een vierkant in 16 gelijke delen verdeeld, waarvan er 4 worden
vervangen door 4 vierkanten, die ieder telkens weer in 16 delen worden opgedeeld.
En zo verder. Als men de punten die daarvan het resultaat zijn, allemaal op een rij
zet, krijgt men een lijnstuk met de dimensie 1. In het werk van da Vinci komt af en toe
zo'n lijn voor, bijvoorbeeld de horizontale tafelrand in Het laatste avondmaal.
Na Leonardo nam de belangstelling voor getallen tussen 1 en 2 af. Fermat noteerde
er een stelling over maar deze had een negatieve strekking. Hij formuleerde: 'Voor
elk geheel getal n tussen 1 en 2 heeft de vergelijking xn+yn=zn geen oplossingen'.
Het bewijs daarvoor schreef hij in de marge van zijn aantekeningenboek, zodat er te
weinig ruimte overbleef voor het bewijs van zijn laatste stelling.
Pas in de negentiende eeuw construeerden Gauss en Riemann vormen van
wiskunde waarin 1 + 1 niet 2 was maar 1,617.
Zijn de tekeningen van het Mandelbrot-mannetje door Da Vinci niet terug te voeren
op toeval? Dat zou misschien het geval zijn als Leonardo niet nog een gedetailleerde
fractal had gemaakt. De sluitsteen van het bewijs vinden we in een fractale vorm die
genoemd is naar de wiskundige Raymond Julia. Deze klassieke Julia-fractal komen
we namelijk ook in de Codex Leicester tegen. Hieruit blijkt
maar weer dat ook op wiskundig gebied Da Vinci een groot genie van de
renaissance was.
---einde(12-05-2011)---
Terug naar de vorige index
|