Terug naar de vorige index


Fibonacci

door Drs. Pierre van Arkel

Fibonacci
Leonardo da Pisa, die later bekend werd als Fibonacci was een Italiaans wiskundige die leefde van ongeveer 1170 tot ongeveer 1250 (zie de biografie van S. Brown en Dan Racuzzi, Fibonacci precursore della teoria contenutistica). Zijn vader was vertegenwoordiger van de kooplieden van Pisa in Noord Afrika en daarom heeft Fibonacci onderwijs genoten in een land, dat we tegenwoordig Algerije noemen. Hij maakte daar kennis met de ver ontwikkelde Arabische cultuur. Daar zag hij de grote voordelen voor de handel, niet alleen van de Arabische cijfers en het getal nul, maar ook van de manier van noteren van de cijfers. In 1202 werd zijn boek "Liber abaci" uitgegeven. Het speelde een belangrijke rol bij het doordringen van de Arabische cijfers in Europa.


Konijnen
portret van Fibonacci Nadat hij naar Pisa teruggekeerd was, fokte Fibonacci ook konijnen. Hij begon met twee konijnen, maar al heel snel had hij er drie. In plaats van de al te gemakkelijke conclusie te trekken dat 1 + 1 meer is dan twee, ging hij het probleem bestuderen. Hij zag dat deze dieren bijzonder goed waren in het vermenigvuldigen en als wiskundige had hij daarvoor grote belangstelling.
In het derde deel van zijn boek beschrijft hij het probleem als volgt: (vrij vertaald): "Iemand stopt één paartje konijnen in een hok. Hoeveel paartjes konijnen zijn er na een jaar als elk paartje elke maand een nieuw paartje doet geboren worden (een paartje is vruchtbaar na één maand en er gaat geen konijn dood)". De rij getallen die hier bij horen zijn 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, enz. Deze rij getallen wordt behalve de rij van Fibonacci ook wel de "konijnenreeks" genoemd.


Lucas-rijen
Wiskundigen hebben dit probleem als volgt beschreven: un+1 = un +un-1. Vrij vertaald klinkt dat zo: het aantal van volgende maand is gelijk aan het aantal van deze maand vermeerderd met het aantal van vorige maand. Bij zo'n beschrijving horen de beginwaarden u1 en u2. Bij de Fibonaccirij horen de beginwaarden u1=1 en u2=1.
Als je als beginwaarden 1 en 3 neemt, krijg je de rij: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, enz. Rijen die werken met het mechanisme un+1 = un +un-1 worden Lucas-rijen genoemd. Deze rijen zijn genoemd naar de derde zoon van Leonardo, die Lucas van Bugia genoemd wordt. Deze Lucas van Bugia is de betovergrootvader van Leonardo da Vinci, maar daarover later meer in dit artikel.


1,6180339887498948482...
Van deze Lucas-rijen is bekend dat dit soort rijen met de eigenschap un+1 = un +un-1 zich steeds meer gaan gedragen als meetkundige rijen met een reden die gelijk is aan 1,6180339887498948482... Een meetkundige rij is een rij getallen met de eigenschap dat de verhouding tussen twee opeenvolgende termen constant is.
Bij Lucas-rijen is die verhouding niet constant, maar die verhouding wordt na verloop van tijd steeds meer dezelfde. Als voorbeeld nemen we de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... De verhoudingen tussen twee opeenvolgende termen zijn dan: 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.667, 8/5=1.6, 13/8=1.625, enz. Deze getallen schommelen om de 1,6180339887498948482... heen. De verschillen worden steeds kleiner.


De gulden snede
Het getal 1,6180339887498948482... is ook de verhouding die de belangrijke rol speelt bij de gulden snede. Zonder hier in dit artikel daar verder op in te gaan, noemen we wel dat het getal 1,6180339887498948482... ( = een half plus een half keer de wortel uit vijf) één van de oplossingen is van de beroemde vergelijking x2 + x -1 = 0.
Dat bij de Lucas-rijen hetzelfde getal als verhouding tussen twee opeenvolgende termen ontstaat, laat zich gemakkelijk bewijzen. Het bewijs gaat als volgt: 1. Er geldt: un+1 = un +un-1, dus ook eigenschap un+1/un = un/un + un-1/un
2. Als op den duur de verhouding tussen twee opeenvolgende termen niet meer verandert en we die verhouding x noemen, dan geldt dat x = un+1/un en dat 1/x = un-1/un.
3. Als je het resultaat van 2 gebruikt bij 1, dan ontstaat de vergelijking x = 1 + 1/x. Deze vergelijking laat zich herschrijven tot x2 + x -1 = 0.
Mens van Vitruvius

Fibonacci verder
Fibonacci zouden we te kort doen als we denken dat hij alleen over deze rij gepubliceerd heeft. In "liber abaci" stelt hij veel andere problemen aan de orde. Sommige problemen zouden we nu puzzeltjes noemen, maar andere problemen gaan over economie. In het nawoord ondertekende hij het boek met de naam 'F i bb ooo nnnnn aaaaaaaa ccccccccccccc ccccccccccccccccccccc iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii' . Hij heeft meer boeken gepubliceerd, o.a. in 1220 "Practica geometriae", een boek waarvan de paginanummers imaginaire getallen zijn.


Leonardo da Vinci
Fibonacci's kennis over de gulden snede is destijds ook via zijn zoon Lucas uiteindelijk terechtgekomen bij de bekende renaissance-kunstenaar en geleerde Leonardo da Vinci. Leonardo da Vinci was dus een afstammeling van Leonardo da Pisa en heette waarschijnlijk dus niet toevallig ook Leonardo. Men heeft wel aan de afstamming getwijfeld, omdat in de stamboom enkele schakels ontbreken.
In het werk van de grote meester kan men echter duidelijke verwijzingen zien naar zijn voorouder.
Madonna met konijn Het is evident dat da Vinci volop gebruik heeft gemaakt van de gulden snede. zoals bijvoorbeeld kan worden vastgesteld aan de verhoudingen in de Mens van Vitruvius. Opvallender is de verwijzing die de schilder heeft opgenomen in zijn schilderij 'Madonna met konijn'. Het kan niet anders of de aanwezigheid van het knaagdier op de arm van Maria is een aanduiding van de afstamming van Leonardo.


---einde(12-05-2011)---

Terug naar de vorige index