Cantor dust


Hoe maak je "Cantor dust"?
Je neemt een zwart vierkant (fig. 1).
Verdeel het zwarte vierkant in 16 gelijke vierkanten. Laat 4 vierkanten zwart en maak volgens een speciaal patroon 12 vierkanten wit (fig. 2). De witte vierkanten doen nu niet meer mee, want de fractal bestaat alleen uit zwarte vierkantjes.

Met elk zwart vierkant, dat zo ontstaan is, doe je weer hetzelfde (fig. 3).
En daarna nog een keer (fig. 4). En dat gaat oneindig lang door.

Wat houd je uiteindelijk over?
Als de oppervlakte van het eerste zwarte vierkant 16 is, dan is de totale oppervlakte van 4 kleinere zwarte vierkanten (fig. 2) nog maar 4. En de totale oppervlakte van de 16 kleine zwarte vierkanten (fig. 3) nog maar 1.
Elke keer wordt de totale oppervlakte van alles wat zwart is 4 keer zo klein.
Op de lange duur wordt de oppervlakte dus nagenoeg 0.

Houd je helemaal niets over?
De vierkantjes verdwijnen (immers elk vierkant wordt steeds verder verdeeld), maar er blijven punten over. Dat noemen we Cantor dust.

Hoe groot is de dimensie van Cantor dust?
Als je de oppervlakte van deze fractal 4 keer zo nauwkeurig opmeet (de zijde van het vierkantje waarmee je de opppervlakte opmeet is dus 4 keer zo klein), dan wordt het getal dat je voor de oppervlakte vindt steeds 4 keer zo groot.
Voor de dimensie geldt dus: 4^dimensie = 4. De dimensie van het Cantor dust is dus 1.

Kunnen we dat verrassende antwoord verklaren?
Denk je eens in dat het vierkant een soort dienblad is.
Wat gebeurt er als je dat blad een beetje schuin houdt?
Dan schuiven alle zwarte vierkantjes naar de onderste lijn.
En alle vierkantjes passen steeds keurig naast elkaar.
Als het Cantor dust alleen nog maar uit "stof" (punten) bestaat,
krijg je dus een lijnstuk met dimensie 1.


Terug naar de wiskunde-index